7

نقاش: 1 + 2 + 3 + 4 + ... = ؟

السلام عليكم

موضوع النقاش:كم يساوي c ؟

c = 1 + 2 + 3 + 4 + ...

بديهيا نرى أن c يؤل إلى ما لا نهاية

لكن بين أحد الرياضيين أن

c = -1 / 12

وهكذا برهن على ذلك

           c = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
          4c =     4 +     8 + ...
-3c = c - 4c = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
         -3c = (1 - 1 + 1 - 1 + ...)²
         -3c = (1 / 2)²
         -3c = 1 / 4
           c = -1 / 12

إستعمل للإنتقال من السطر الثالث إلى الرابع

+---+---+---+---+---+----
| x | 1 |-1 | 1 |-1 | ...
+---+---+---+---+---+----
| 1 | 1 |-1 | 1 |-1 | ...
+---+---+---+---+---+----
|-1 |-1 | 1 |-1 | 1 | ...
+---+---+---+---+---+----
| 1 | 1 |-1 | 1 |-1 | ...
+---+---+---+---+---+----
|-1 |-1 | 1 |-1 | 1 | ...
+---+---+---+---+---+----
| . | . | . | . | . | .  
| . | . | . | . | . |   .

بجمع الأعداد قطريا نجد

(1 - 1 + 1 - 1 + ...)² = 1 - 2 + 3 - 4 + ...

وللإنتقال من السطر الرابع إلى الخامس

 s = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
 s = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...)
 s = 1 - s
2s = 1
 s = 1 / 2

هل هذا صحيح ؟؟؟

الغريب أن هذه النتيجة تستخدم في دالة زيتا لريمان

zeta(s) = 1^-s + 2^-s + 3^-s + ...
zeta(-1) = 1^1 + 2^1 + 3^1 + ...
zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + ...
zeta(-1) = -1 / 12
يرجى الدخول لحسابك أو تسجيل حساب لتستطيع إضافة تعليق
حساب جديد دخول

التعليقات

2
tasyjean أضف ردا

للوهلة الاولي كنت سأعلق بأنها divergent series و وظننت أن هناك خدعة ما فى الأثبات لكن بعد البحث وجدت الأمر صحيح لكن يوجد خلط بين نتيجة حاصل جمع الأعداد في سياق الجمع العادي

1+2+3+4+...=?

وبين جمع الأعداد فى سياق دالة زيتا

zeta(-1) = 1+2+3+4+....= -1 / 12

بعض اللينكات التي وجدتها تشرح الأمر

0
Caesar أضف ردا

مممممم هناك خطأ بديهي جدا 

-3=c-4c

و هذا خطأ لأن c تؤول الى اللا نهياة و اللانهاية ناقص لا نهاية حالة عدم التعيين ،أي لا تستطيع الجزم ان قيمة مُعَرّفة

0
assassinateur أضف ردا

انتقالها إلى لا نهاية لا يهم، البرهان لا يتم القيام على لا نهاية، بل جزئيا، إلى من 1 إلى n ثم يتم تعميم النتيجة باستخدام limite على n

0
zakariamouhid أضف ردا

لكن توصل في النهاية أن c = -1/12 عدد حقيقي

0
mujahid أضف ردا

أولًا:

إذا كانت:

ج = ١ + ٢ + ٣ + …

٤ ج = ٤ + ٨ + ١٢ + …

فإن:

-٣ ج = ج - ٤ ج = ١ - ٤ + ٢ - ٨ + ٣ - ١٢ + …

ثانيًا: الإنتقال من السطر الثالث إلى الرابع، لم أفهمه ولا شرحه البتّة.

ثالثًا: شرح الإنتقال من الرابع إلى الخامس يقول في نهايته إن ظ = ١ \ ٢

ومن ضمن خطوات الحل هي: ظ = ١ - ظ. ولو عوضنا قيمة النتيجة على هذا الجزء لما صحّت المعادلة.

1
zakariamouhid أضف ردا

أولا:

 c = 1 + 2 + 3 + ...
4c = 4 + 8 + 12 + ...
4c = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...

وبطرح 4c من c نحصل على

           c = 1 + 2 + 3 + ...
          4c = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...
-3c = c - 4c = 1 - 2 + 3 - 4 + ...

ثانيا:

s = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
2s = (1 - 2 + 3 - 4 + ...) + (1 - 2 + 3 - 4 + ...)
2s = 1 + (-2 + 3 - 4 + ...) + 1 - 2 + (3 - 4 + ...)
2s = (-2 + 3 - 4 + ...) + (3 - 4 + ...)

نقوم بعملية الجمع

-2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ... 
------------------------
1 - 1 + 1 - 1 + ...

إذن

2s = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
2s = 1 / 2
s = 1 / 4

ثالثا:

s = 1 / 2
1 - s = s
1 - 1 / 2 = 1 / 2
1 / 2 = 1 / 2
0
mujahid أضف ردا

أولًا أعترف بسداجتي في التعليق السابق، ولكني لا أزال مقتنعًا بأن هناك خطأ في هذا البرهان.

إذا كانت:

ظ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

فبالإمكان أخذ عدة حدود بشرط أن يكون عدد الحدود زوجيًا، مثل:

ك = 1 - 1 + 1 - 1

حينها:

ظ = ك + ك + ك + ك

وبما أن ك = 0، فإن:

ظ = 0 + 0 + 0 + 0 + ...

وقد تقول إن ظ = 0، لأن الصفر هي العنصر المحايد للجمع. ولكن الحقيقة أن صفر مجموعة بعددٍ لا نهائي، أي أن معامل صفر يساوي إلى ما لا نهاية:

ظ = 0 × ∞ = قيمة غير معروفة

عليه:

  • 3 ج = ج - 4 ج = (1 - 1 + 1 - 1 + ...)^2 = (قيمة غير معروفة)^2 = قيمة غير معروفة

وما يُصّدق هذا الكلام أن:

∞ - ∞ = قيمة غير معروفة

لأن ج = ∞، وكذلك 4 ج = ∞.

∴ ج = 1 + 2 + 3 + 4 + ... = ∞

"#" وهو المطلوب إثباته

0
zakariamouhid أضف ردا

أولا أنا أيضا لست مقتنعا بهذه النتيجة

ثانيا القيمة الغير معروفة لا تعني أنها غير موجودة، فمثلا

f(x) = x
g(x) = 1 / x
lim_(x->+∞)(f(x)) = +∞
lim_(x->+∞)(g(x)) = 0
lim_(x->+∞)(f(x)×g(x)) = 0 × ∞ = FI // غير معرفة
lim_(x->+∞)(f(x)×g(x)) = lim_(x->+∞)(x × 1 / x) = lim_(x->+∞)(1) = 1

قبل أن ننتقل إلى حساب قيمة "ج" بالطريقة المرفقة في الموضوع

علينا أولا أن نرى هل قيمة "ظ" صحيحة ؟

0
mujahid أضف ردا

صحيح، النتيجة غير المعروفة (أو غير المعرّفة) ليست حجة أبدًا.

ولكني سأعصر عقلي لأحل هذه المسألة إن شاء الله.

تنبيه بسيط: أظن أن التربيع الموجود بين قوسي قيمة - ٣ ج (في متن الموضوع) خطأ.

0
zakariamouhid أضف ردا

تنبيه بسيط: أظن أن التربيع الموجود بين قوسي قيمة - ٣ ج (في متن الموضوع) خطأ.

هل تقصد ؟

-3c = (1 / 2)² = 1 / 4

علينا أولا إيجاد الخلل في النتيجة

1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 / 2
0
mujahid أضف ردا

هل تقصد ؟

 -3c = (1 / 2)² = 1 / 4

الصحيح: - 3 ج = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 \ 4 = 2 × ظ

1
mujahid أضف ردا

حسب المبرهنة المذكورة في الموضوع:

ج = 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1 \ 12

سنفترض أن:

د = 1 + 1 + 1 + ...

وبما أنّ:

ج = 1 + 2 + 3 + 4 + ... = (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ...) + (1 + 1 + 1 + 1 + ...)

ج = ج + د = (1 + 2 + 3 + 4 + ...) + (1 + 1 + 1 + 1 + ...)

∴ د = ج - ج = - 1 \ 12 + 1 \ 12 = 0

نقول: - د = - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = 0

∴ د - د = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 0 - 0 = 0

الآن نعود إلى خطوات معادة - 3 ج:

وهي: - 3 ج = (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...)^2 = (0)^2 = 0

وهذه النتيجة غير صحيحة؛ وعليه إما أن تكون خطواتنا السابقة في إيجاد قيمة د غير صحيحة، أو أن المبرهنة المذكور في الموضوع غير صحيحة. وقد راجعت خطواتي السابقة وهي صحيحة (وأنتظر مراجعتك لها). أما الحالة الثانية فهي أن تكونة المبرهنة التي في الموضوع خطأ. وبعد مراجعتي إيها أُخمّن أن الخطأ في:

(1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...)^2 = 1 \ 4 ، أو حسب كلامي (بعدم وجود التربيع): 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 \ 4

0
mujahid أضف ردا

لا زلت أنتظر ردك يا زكريا (@zakariamouhid)!

0
zakariamouhid أضف ردا

سأقوم بتحليل منطقي

لنضع العبارات التالية

P : (1 - 1 + 1 - 1 + ...)² = 1 / 4
Q : 1 + 2 + 3 + ... = -1 / 12

من خلال الموضوع فإن الإستلزام التالي صحيح

P ⇒ Q

ومن خلال تحليلك فإن الإستلزام التالي صحيح

Q ⇒ non(P)
// بتطبيق الإستلزام المضاد للعكس
P ⇒ non(Q)

ومنهما فإن الإستلزام التالي صحيح

P ⇒ Q and non(Q)
P ⇒ False
// بتطبيق الإستلزام المضاد للعكس

True ⇒ non(P)

وبالتالي فإن العبارة P خاطئة

0
mujahid أضف ردا

أنت الرياضي، هنا والقول قولك!

ولكن لا تنسى أن تُنسّق هذا الكلام في صورة علمية، وتقدمها للنقاش لأساتذة الرياضيات في جامعتك (أو أيّ جامعة تراها مناسبة)، أو ترسلها لأي عالم رياضي تعرفه. وإن كان نتيجة النقاش والمراجعة هو أن هذا الكلام صحيح، فستكون هذه مُساهمة وإضافة جيدة للعلم.

وحبّذا لو صِغتها رموزها بالأبجدية العربية.