المجموعات الفرعية لمجموعة ما

حسب معلوماتي هذه المسألة تُحل إما بالتباديل أو بالتوافيق، لكن أولاً عليك أن تحدد عدد العناصر داخل المجموعة الفرعية (يعني ليس فقط أكثر من كذا، إنما تقول العدد بالتحديد)، ثم بعدها تحدد هل تريد أن تسمح بالتكرار عندما تكون هناك مجموعتان متطابقتان في عناصرهما لكنهما تختلفان في كيفية ترتيب هذه العناصر:

مثلا أ(3،5) و ب(5،3). بحيث إذا كنت تريد الإبقاء على كل من (أ) و (ب) عندها ستسمح بالتكرار و تستخدم قانون التباديل، إما إذا كنت ستعتبر (أ) و (ب) شيئاً واحداً -يعني هما الإثنان نفس الشيء- عندها لن تسمح بالتكرار و ستستخدم قانون التوافيق.

قانونا التباديل و التوافيق يأخذان متغيران هما (س) و (ص)، حيث (س) تمثل عدد عناصر المجموعة الأساسية (S)، و (ص) تمثل عدد العناصر داخل المجموعة الفرعية.

قانون التباديل: مضروب(س) \ مضروب(س-ص)

قانون التوافيق: مضروب(س) \ مضروب(س-ص) × مضروب(ص)

---

المضروب هو حاصل ضرب العدد المعطى مع جميع الأعداد التي تصغره حتى العدد واحد:

يعني مضروب(5) = 5×4×3×2×1

أولا عدد أجزاء مجموعة عدد عناصرها n هو

2^n

ثانيا عدد الأجزاء التي تضم عنصرا واحدا هو

n

ثالثا هناك مجموعة واحدة لا تضم أي عنصر هي المجموعة الفارغة {}

1

إذن عدد الأجزاء التي تحتوي على عنصرين أو أكثر هو

2^n - n - 1
n = 100    =>    2^n - n - 1 = 2^100 - 101

لنأخد مثالا صغيرا :

نعتبر المجموعة

S = {1, 2, 3}
n = card(S) = 3

مجموعة أجزاء S هي

P(S) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
card(P(S)) = 2^n = 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8

المجموعات الجزئية التي تضم عنصرا واحدا هي

A = {{1}, {2}, {3}}
card(A) = n = 3

المجموعة التي لا تضم أي عنصر هي

B = {{}}
card(B) = 1

المجموعات التي تضم عنصرين أو أكثر هي

C = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
P(S) = A ∪ B ∪ C
A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = ∅
card(P(S)) = card(A) + card(B) + card(C)
card(C) = card(P(S)) - card(A) - card(B)
card(C) = 2^n - n - 1 = 2^3 - 3 - 1 = 8 - 3 - 1 = 8 - 4 = 4

الدالة card تعني عدد عناصر مجموعة