مسألة رياضيات : تقابل مجموعتين.

سؤال مثير الإهتمام، خاصة أنه غير بديهي. إذ من البداهة أن تتقابل مجموعتين عندما يكون لهما نفس عدد العناصر - و هنا من الواضح أن Q أكبر بكثير من N لذا فهما ليستا متقابلتين . للأسف عزيزي فإن مفهوم اللانهايات يخرج عن البداهة أحيانا، و سأبين في يلي تقابل المجموعتين.

أولا لنعرف بعض خصائص هذا التقابل و التي سنقبلها دون برهان إختصارا للجواب.

• اذا A تقابل B فإن B تقابل A. 

• إذا A تقابل B و B تقابل C فإن A تقابل C.

من هنا نجد أنه يكفي وجود مجموعة B بحيث A تقابل B و B تقابل C للبرهان أن A تقابل C. 

لذا لنجد مجموعة تقابل N و في نفس الوقت Q. 

في العادة يعرف الرياضياتيون المجموعة Q بالمجموعة التي عناصرها x تكتب على شكل p/q حيث حيث p عدد من N  و q عدد من Z (تتضمن N و 1-، 2-، 3-،..) و p~q=1 أي أنه لا يوجد عدد (غير 1) يقسم p و q معا.

لنعتبر مثلا المجموعة E و التي هي مجموعة أزواج الأعداد الصحيحة الطبيعية (x;y) الأولية فيما بينها ( x~y=1) و لنعتبر العلاقة f التي تحول هذا الزوج(x;y) إلى x/y و بالطبع هنا يجب إقصاء الأزواج(x;0). لتكون Q متقابلة مع E يكفي أن يكون لكل عدد r من Q زوج وحيد من E بحيث f(x;y) = r أي p/q=x/y (حيث r = p/q) من الواضح أن f(p;q) = r في حالة p موجب (سننقاش حالة السالب لاحقا) لكن هل الزوج (p;q) وحيد ؟ لنفترض وجود زوج آخر (a;b) بحيث a/b=p/q أي أن aq=pb بما أن b لا تقسم a فهي تقسم q (مبرهنة جاوس) ، بالمثل q لا تقسم p إذن هي تقسم b. b تقسم q و q تقسم b من الواضح إذن أن q=b و بالتالي a=p أي أن لكل عنصر من Q يوجد زوج وحيد من E بحيث تربط بين العنصرين علاقة (في هذه الحالة f)، إنتظر لحظة ألم ننسى شيئا؟ نعم تحدثنا فقط عن Q+ حيث الأعداد موجبة، و لتمديدها لQ (مشتملة الأعداد السالبة) سنأخذ هذه المجموعة F بحيث F مكونة من الثلاثيات (x;yz) حيث الزوج (x;y) من E و العدد z يكون إما 1 أو 2 لا غير، و لنأخذ العلاقة g(x;y;z) = f(x;y) ×(-1)^z من الواضح أن لكل r من Q توجد ثلاثية وحيدة تحقق g(x;y;z) = r إذن فالمجموعتين F و Q متقابلتين. 

هل E تقابل N ؟ للإجابة عن هذا السؤال يجب إيجاد مجموعة تقابل الإثنتين. ماذا عن هذه المجموعة : G هي هي مجموعة الثلاثيات (x;y;z) بحيث x و y عددان من N و z يكون إما 1 أو 2. لإثبات تقابلها يكفي إيجاد علاقة تقابلية بينهما. لنأخذ هذه العلاقة التي تحول الزوج (x;y) إلى الزوج (x;u;z) أي أننا نحافظ على x و z لكن نغير y إلى عدد u نعرفه بما يلي u هو العدد الأولي مع x و الذي قبله y-1 عدد أولي (أي أن رتبته y) بالطبع لا ننسى إزالة الصفر أي أننا سنبتدأ العد من 1 الذي هو أولي مع كل الأعداد. من الواضح أن كل ثلاثية (a;b;c) من F يمكن كتابتها على شكل g(x;y;z) = (a;b;c) إذ يكفي أخذ x=a و z=c و بالنسبة لy نحسبه من خلال عد الاعداد الأولية مع a و الأصغر من b. إذا افترضنا وجود زوج آخر (i;j;k) بحيث g(x;y;z) = g(i;j;k) فمن الواضح x=i و k=z، و ليكن u هو العدد الy الأولي مع x و u' العدد الj الأولي مع x لان x=i. إذن j=y و هذا واضح من تعريفنا لu و u' 

إذن ف F تقابل G. 

بالعودة قليلا إلى المبدأ الأساسي للحسابيات فإن كل عدد من N يكتب بصيغة وحيدة على شكل جداء قوى الأعداد الأولية أي إذا كان n من N فإن هناك أعدادا a, b, c.. وحيدة بحيث ...n=2^(a)×3^(b)×5^(c) إن العدد 3 لا يقسم العدد  5^(c).. إذن  فهو إما 3k+1 أو 3k+2 حيث k من N. لنعتبر العلاقة h التي تحول n من N إلى (a;b;r)  من G بحيث n=2^(a)×3^(b)×(3k+r) . من الواضح أن كل n يملك a و b وحيدين يحققان العلاقة h، و ماذا عن r؟ إن وجد n و n' من بحيث h(n) =h(n') فإن 

n=2^(a)×3^(b)×(3k+r)=n'=2^(a)×3^(b)×(3k'+r')

(لأن a و b وحيدان). إذن 3k+r=3k'+'r  أي أن r-r' =3p حيث p=k-'k. القيم الممكنة ل r-r' هي  1 أو 0 أو1- العددان 1 و 1- لا يكتبان على شكل 3p إذن فالحل الوحيد هو 0 أي أن r'=r و منه فإن العلاقة h تقابلية أي أن G تقابل N   كاستنتاج : لدينا Q تقابل F و F تقابل G إذن Q تقابل G  و بما أن G تقابل N فإن N تقابل Q. 

أرأيت ؟ استعملت فقط رياضيات المرحلة الثانوية ;-)

اذا كان المقصود استخدام معادلة واحدة فقط.

فالجواب لا

اذا امكن استخدام عدد غير منتهي من المعادلات فالجواب نعم.

مبدء التقابل يحتاج الى مجموعتان متساويتان بالحجم.

وبالرغم ان مجموعة الاعداد الكسرية تبدو اكبر من مجموعة الاعداد الحقيقية.

ولكن كون المجموعتان لا نهائيات فلا يمكن نفي عدم التساوي

عذرا ولكن جوابي هذا وجهة نظر منطقية وليس جواب اكاديمي.