10

فكر في عدد صحيح. أي عدد! حسنًا، لا تخبرني ما هو! أنا سأشير إلى هذا العدد بالرمز (n) لأنني لا أعرفه!

إذا ضربنا هذا العدد في 2 ليصبح (2n) نضمن بهذا أن يكون الناتج عددًا زوجيًا. (جربها بنفسك) تذكر أن n تشير إلى أي عدد صحيح.

إذا أتينا بالعدد الزوجي التالي للعدد (2n) فإنه سيكون (2n+2) (تذكر أنك تأتي بالعدد الزوجي التالي لأي عدد زوجي بإضافة 2)

إذا قمنا بضرب العدد الزوجي الأول (2n) بالعدد الزوجي الثاني (2n+2) يكون الناتج (4n^2+4n) أضف إليه واحدًا ليصبح (4n^2+4n+1) تذكر هذا العدد جيدًا!

إذا عدنا للوراء قليلًا لصديقنا العدد الزوجي الأول (2n) لوجدنا أننا نستطيع أن نوجد العدد التالي له بأن نضيف إليه الرقم واحد ليصبح (2n+1) إذا قمنا بإيجاد مربع هذا العدد لوجدنا أنه (4n^2+4n+1) هل يذكرك هذا الرقم بصديق قديم؟


ببساطة: هذه القاعدة تقول أن (حاصل ضرب أي عددين زوجيين متتاليين+1) = (مربع العدد الموجود بين هذين العددين)

وهذا من أبسط الأمثلة على المواضيع التي تدرس في نظرية الأعداد أو Number theory

لنجرب: سأفكر في رقم وليكن 2 إذن (n=2) و(2n = 4)

العدد الزوجي التالي ل 4 هو 6 إذن (2n+2 = 6)

4 × 6 = 24 (4n^2+4n)

24 + 1 = 25 وهو مربع الرقم 5 (بين 4 و 6)

المصدر(كنت أبحث عنه) : Introduction to Number Theory - Edward B. Burger (دورة وليست كتابًا)

على الهامش، هل هناك فرصة لدعم شيء مثل LaTeX أو MathML هنا؟

ببساطة: هذه القاعدة تقول أن (حاصل ضرب أي عددين زوجيين متتاليين+1) = (مربع العدد الموجود بين هذين العددين)

يعني 8*10 = 80 + 1 = 81، وبين العددين 9 هو مربع 81 لأن 9 * 9 = 81

اتمنى تعطي امثله أخرى واشكرك على الشرح أخي الكريم

أجل تطبيقك للقاعدة صحيح. وهي قاعدة صحيحة مهما كانت قيمة n

جرب أن تثبت نفس النظرية ولكن بتبديل الأعداد الزوجية بالفردية.

أي، أثبت أن: (حاصل ضرب أي عددين فرديين متتاليين) + 1 = (مربع العدد الزوجي الموجود بينهما)

ربما ترغب في أن تحاول وتجرب بنفسك قبل إكمال القراءة :)

كيف يمكنك أن تتأكد أن العدد فردي؟ (كما تأكدنا أن العدد زوجي بضرب n في 2 في المرة السابقة)

تذكر أن 2n زوجيٌ دائمًا وبإضافة 1 يصبح لديك ناتج فردي دائمًا. شيء مثل (2n+1)؟ (ستجد أن ناتج (2n+1) فردي دائمًا مهما كانت قيمة n)

ماذا عن العدد الفردي التالي لهذا العدد الفردي؟ حسنًا، لماذا لا نضيف إليه 2؟ ليصبح 2n+1)+2) أو للتبسيط (2n+3)

الآن، لدينا عددين فرديين متتاليين (وهذا التعريف صحيح مهما كانت قيمة المتغير n)

الأول (2n+1) والثاني (2n+3) إذن ما العدد الزوجي الموجود بينهما؟ (2n+2) أليس كذلك؟ وحاصل ضربهما هو (4n^2+2n+6n+3) أو للتبسيط (4n^2+8n+3) ومربع العدد الموجود بينهما هو 2^(2n+2) وإذا قمنا بتبسيطه لوجدناه (4n^2+8n+4)

2n+1 هو أي عدد فردي

2n+3 هو العدد الفردي التالي للعدد 2n+1

(4n^2+8n+3) هو حاصل ضرب العددين الفرديين

وإذا أضفنا 1 إلى حاصل الضرب أصبح (4n^2+8n+4) وهو مربع العدد الزوجي الموجود بين هذين العددين.

هذا الأمر ممتع :)

فلنجرب: لتكن n=2

إذن 2n+1 = 5

إذن 2n+3 = 7

5×7 = 35 وهو (4n^2+8n+3)

35+1 = 36 وهو (4n^2+8n+4) وهو أيضًا مربع الرقم 6 :)

إذا أردت دراسة المزيد عن نظرية الأعداد فأنصحك بهذه الدورة فهي مفيدة وممتعة جدًا:

يمكنك شرائها من هنا: http://www.thegreatcourses.com/courses/introduction-to-number-theory.html

أو تحميلها من هنا: https://thepiratebay.org/torrent/4248891

هي نظرية تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.


مثال جميل يبين كيف ان نظرية الاعداد هي نظرية جميلة ومفيدة

اذا كان لديك هذا الرقم 936546266546246645635654634563465436456345555565436546436546

وتريد ان تعرف هل يقبل القسمة على ثمانية ام لا..

بدون معرفة نظرية الاعداد فستحاول ان تقسم الرقم على ثمانية وترى هل هناك باقي ام لا, وهذا الامر صعب جدا عند وجود رقم بهذه الضخامة

لكن نظرية الاعداد تقول انه لكي نختبر قابلية القسمة على ثمانية يجب علينا ان نأخذ اول ثلاثة ارقام (فقط) ونختبر قابلية قسمتها على ثمانية والارقام هي , 546 , وما ستلاحظه ان باقي قسمة هذا الرقم على ثمانية تساوي 2 ويعني انه لا يقبل القسمة على ثمانية.

من اين اتت؟ اتت من فكرة ان 222=8 , اي 8=3^2.

أهُنالك أمثلة أُخرى عن طرق لمعرفة ما إن كان العدد يقبل القسمة على بقيّة الأعداد؟

نعم :

-2 إذا كان أحاد الرقم زوجي فهو يقبل القسمة على 2 وإلا لا يقبل.

-3 إذا كان مجموع جميع أرقام العدد يقبل القسمة على 3 فهو يقبل وتبقى تجمع العدد الناتج عن الجمع السابق حتى تصل لرقم من خانة واحدة.

كمثال: 741 مجموعه 7+4+1 ويساوي 12 ومجموع أرقامه 1+2=3 إذا يقبل القسمة

-4 إن كان أول خانتين تقبل القسمة على 4 فالعدد الكامل يقبل القسمة على 4

-5 إن كان أحاده 0 أو 5 فهو يقبل

-6 إن كان يقبل القسمة على 2 و 3 فهو يقبل

-7 لا أتذكر

-8 كالتي ذكرها الأخ قبل قليل

-9 شبيه ب 3 أي إذا كان المجموع يقبل على 9 فهو يقبل

أوه، أعرفُ بالنّسبة لهذه، ظننتُ أنّ نظريّة الأعداد شيءٌ مُختلف وهُنالك طريقةٌ أسهل لكلّ رقم.

وجدت هذا:

https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%A8%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B3%D9%85%D8%A9

@ZaidEd

بالاضافة الى ما قدمه الاخ @عبد الرحمن أحمد

انظر هنا https://goo.gl/bxX28x

هذه قائمة ممتازة جدا تتحدث عن نظريةالارقام بشكل سهل وبسيط جدا

وهو مقسم المواضيع على شكل احرف

الحرف B يتحدث عن قابلية القسمة ومع امثلة

هي من أجمل فروع الرياضيات، تهتم بدراسة خصائص الأعداد (الصحيحة)، (هل سألت نفسك يوما ما هي الأعداد ومن أين جاءت؟)، جمالها ينبع من بساطتها الظاهرية ومن المتعة التي ينالها من يمارسها، يكفي أن تعرف الأعداد والعمليات الحسابية حتى تبدأ بدراستها، إشكالياتها تبدو بسيطة ظاهريا لكنها تحوي الكثير من الأفكار العميقة وفي الحقيقة الكثير من الألغاز والأحاجي الحسابية الفلكلورية يرجع أصلها إلى مفاهيم في نظرية الأعداد، كل هذا كان وراء اهتمام الكثير من هواة الرياضيات بها ولعل أشهرهم دي فرمات الذي ترك نظريته الأخيرة والتي ربما هي أحد أشهر النظريات في نظرية الأعداد.

خصائص الأعداد غاية في الروعة وقد تبدو سحرية أحيانا، أما عندما يتعلق الأمر بالأعداد الأولية فالأمر يعدو إلى عالم مليئ بالغموض والأسرار. تطبيقاتها متعددة وكثيرة خاصة في ميدان الحواسيب والاتصالات والتشفير.

يكفي أن أمير الرياضيات كارل فريدريك غوص وصفها بأنها ملكة الرياضيات

 ""Mathematics is the queen of the sciences and number theory is the queen of mathematics." Carl Friedrich Gauss.

هي تدرس الأعداد وعلاقتها مع بعض مثلا 1 = 1 وكذلك = نصف العدد 2 وكذلك = ثلث العدد 3 وكذلك ربع العدد 4 الخ...

مثال:

(1^2 = 2) = نصف الجذر (2^2= 4) والـ 4 = نصف الجذر (3^2= 8) وهكذا (16 - 32 -64 - 128 - 256)

(1^3= 3) = ثلث الجذر (2^3= 9)، والـ 9 = ثلث الجذر (3^3= 27) وهكذا (81 - 243 - 729)

(1^4= 4) = ربع الجذر (2^4= 16)، والـ 16 = ربع الجذر (3^4= 64) وهكذا (256 - 1024)

هذه العلاقة (8- 16 - 32 -64 - 128 - 256) أكثر شيء تستخدم في الحاسوب

الهدف الأساسي من النظرية هي إيجاد روابط وعلاقات بين هذه الأعداد والجذور حتى نستطيع التعامل معها بسهولة

اشرحها وكأني في الخامسة

لا نريد مصطلحات فخمة، أو معاني معقدة، كل ما نريده هو أن نفهم الأمر في أبسط أشكاله، إذا كنت ستشرح لنا مفهومًا ما أو ستُجيب على أسئلتنا فقط تخيل أنك تشرح الموضوع لطفل في الخامسة من عمره.

12.1 ألف متابع