مسألة رياضيات : تقابل مجموعتين.

سؤال مثير الإهتمام، خاصة أنه غير بديهي. إذ من البداهة أن تتقابل مجموعتين عندما يكون لهما نفس عدد العناصر - و هنا من الواضح أن Q أكبر بكثير من N لذا فهما ليستا متقابلتين . للأسف عزيزي فإن مفهوم اللانهايات يخرج عن البداهة أحيانا، و سأبين في يلي تقابل المجموعتين.

أولا لنعرف بعض خصائص هذا التقابل و التي سنقبلها دون برهان إختصارا للجواب.

• اذا A تقابل B فإن B تقابل A. 

• إذا A تقابل B و B تقابل C فإن A تقابل C.

من هنا نجد أنه يكفي وجود مجموعة B بحيث A تقابل B و B تقابل C للبرهان أن A تقابل C. 

لذا لنجد مجموعة تقابل N و في نفس الوقت Q. 

في العادة يعرف الرياضياتيون المجموعة Q بالمجموعة التي عناصرها x تكتب على شكل p/q حيث حيث p عدد من N  و q عدد من Z (تتضمن N و 1-، 2-، 3-،..) و p~q=1 أي أنه لا يوجد عدد (غير 1) يقسم p و q معا.

لنعتبر مثلا المجموعة E و التي هي مجموعة أزواج الأعداد الصحيحة الطبيعية (x;y) الأولية فيما بينها ( x~y=1) و لنعتبر العلاقة f التي تحول هذا الزوج(x;y) إلى x/y و بالطبع هنا يجب إقصاء الأزواج(x;0). لتكون Q متقابلة مع E يكفي أن يكون لكل عدد r من Q زوج وحيد من E بحيث f(x;y) = r أي p/q=x/y (حيث r = p/q) من الواضح أن f(p;q) = r في حالة p موجب (سننقاش حالة السالب لاحقا) لكن هل الزوج (p;q) وحيد ؟ لنفترض وجود زوج آخر (a;b) بحيث a/b=p/q أي أن aq=pb بما أن b لا تقسم a فهي تقسم q (مبرهنة جاوس) ، بالمثل q لا تقسم p إذن هي تقسم b. b تقسم q و q تقسم b من الواضح إذن أن q=b و بالتالي a=p أي أن لكل عنصر من Q يوجد زوج وحيد من E بحيث تربط بين العنصرين علاقة (في هذه الحالة f)، إنتظر لحظة ألم ننسى شيئا؟ نعم تحدثنا فقط عن Q+ حيث الأعداد موجبة، و لتمديدها لQ (مشتملة الأعداد السالبة) سنأخذ هذه المجموعة F بحيث F مكونة من الثلاثيات (x;yz) حيث الزوج (x;y) من E و العدد z يكون إما 1 أو 2 لا غير، و لنأخذ العلاقة g(x;y;z) = f(x;y) ×(-1)^z من الواضح أن لكل r من Q توجد ثلاثية وحيدة تحقق g(x;y;z) = r إذن فالمجموعتين F و Q متقابلتين. 

هل E تقابل N ؟ للإجابة عن هذا السؤال يجب إيجاد مجموعة تقابل الإثنتين. ماذا عن هذه المجموعة : G هي هي مجموعة الثلاثيات (x;y;z) بحيث x و y عددان من N و z يكون إما 1 أو 2. لإثبات تقابلها يكفي إيجاد علاقة تقابلية بينهما. لنأخذ هذه العلاقة التي تحول الزوج (x;y) إلى الزوج (x;u;z) أي أننا نحافظ على x و z لكن نغير y إلى عدد u نعرفه بما يلي u هو العدد الأولي مع x و الذي قبله y-1 عدد أولي (أي أن رتبته y) بالطبع لا ننسى إزالة الصفر أي أننا سنبتدأ العد من 1 الذي هو أولي مع كل الأعداد. من الواضح أن كل ثلاثية (a;b;c) من F يمكن كتابتها على شكل g(x;y;z) = (a;b;c) إذ يكفي أخذ x=a و z=c و بالنسبة لy نحسبه من خلال عد الاعداد الأولية مع a و الأصغر من b. إذا افترضنا وجود زوج آخر (i;j;k) بحيث g(x;y;z) = g(i;j;k) فمن الواضح x=i و k=z، و ليكن u هو العدد الy الأولي مع x و u' العدد الj الأولي مع x لان x=i. إذن j=y و هذا واضح من تعريفنا لu و u' 

إذن ف F تقابل G. 

بالعودة قليلا إلى المبدأ الأساسي للحسابيات فإن كل عدد من N يكتب بصيغة وحيدة على شكل جداء قوى الأعداد الأولية أي إذا كان n من N فإن هناك أعدادا a, b, c.. وحيدة بحيث ...n=2^(a)×3^(b)×5^(c) إن العدد 3 لا يقسم العدد  5^(c).. إذن  فهو إما 3k+1 أو 3k+2 حيث k من N. لنعتبر العلاقة h التي تحول n من N إلى (a;b;r)  من G بحيث n=2^(a)×3^(b)×(3k+r) . من الواضح أن كل n يملك a و b وحيدين يحققان العلاقة h، و ماذا عن r؟ إن وجد n و n' من بحيث h(n) =h(n') فإن 

n=2^(a)×3^(b)×(3k+r)=n'=2^(a)×3^(b)×(3k'+r')

(لأن a و b وحيدان). إذن 3k+r=3k'+'r  أي أن r-r' =3p حيث p=k-'k. القيم الممكنة ل r-r' هي  1 أو 0 أو1- العددان 1 و 1- لا يكتبان على شكل 3p إذن فالحل الوحيد هو 0 أي أن r'=r و منه فإن العلاقة h تقابلية أي أن G تقابل N   كاستنتاج : لدينا Q تقابل F و F تقابل G إذن Q تقابل G  و بما أن G تقابل N فإن N تقابل Q. 

أرأيت ؟ استعملت فقط رياضيات المرحلة الثانوية ;-)