الفرضية المنطقية Proposition

الــ Proposition هي عبارة أو جملة تحتمل الصواب أو الخطأ أي أنه يمكن الحكم عن حالتها ( خاطئة False أو صحيحة True ) .

أمثلة :

-كل من الجمل التالية هي عبارة عن Proposition

• واشنطن هي عاصمة الو.م.أ

• 1+1=2

• الأرض أكبر من الشمس

كما تلاحظون فالجملة الأولى و الثانية صحيحتان True أما الجملة الأخيرة فهي خاطئة False

• ما اسمك ؟

• كيف الحال ؟

• تعلم هذا

الجمل المذكورة أعلاه لا تعتبر Proposition لأننا لا نستطيع الحكم عليها ان كانت صحيحة أو خاطئة، بصورة عامة فان جمل الاستفهام و التعجب و الأمر لا تعتبر Propositions.

المتغيرات المنظقية logical variables :

المتغير المنطقي هو متغير قيمته اما True أو False و نستخدمه كرمز للعبارة المنطقية باستخدام حرف واحد مثلا p,q, r ...

جدول الحقيقة للقضية :

لتكن P عبارة منطقية ما ..

نقول عن P أنها صحيحة اذا كانت الـ truth value ( قيمة الحقيقة ) الخاصة بها صحيحة نرمز لها ب ( T )

نقول عن P أنها خاطئة اذا كانت ال Truth value الخاصية بها خاطئة نرمز لها ب ( F )

الروابط المنطقية :

رابطة الوصل ِConjuction Operator : تعني " و " َAnd نرمز لها ب " Λ"

لتكن p و q عبارتين منطقيتين ما ..

نقول عن العبارة المنظقية P " و" q أنها صحيحة اذا كان كل من p " و" q صحيحا ، أي أن العبارة لن تكون صحيحة إلا اذا كان كل من p و q صحيحتين ، و منه جدول الحقيقة ل p Λ q كالتالي :

نرمز ل صح ب T و خطأ ب F :

كما تلاحظون الحالة الوحيدة التي تكون فيها القضية p " و" q صحيحة هي عندما تكون كلا القضيتين صحيحة وتكون القضية خاطئة اذا كانت احدى القضية أو كلاهما تحمل القيمة False f لأن رابطة الوصل تكون صحيحة " فقط" عندما تكون كلا القضيتين صحيحة و تكون خاطئة عدا ذلك.

رابطة الفصل Disjunction operator : تعني " أو OR " نرمز لها ب " ∨ " :

لتكن p و q قضيتين ما :

القضية p " أو " q تكون خاطئة في حالة وحيدة و هي عندما يكون كل القضية خاطئتين أي تحملان نفس القيمة False false

تكون القضية p أو q صحيحة اذا كانت كلا القضيتين صحيحة

تكون القضية p أو q صحيحة اذا كانت احدى القضيتين صحيحة و الأخرى خاطئة

و منه جدول الحقيقة ل p ∨ q هو كالتالي :

كما تلاحظون فالقضية p أو q تكون خاطئة فقط عندما تكون كلا القضيتين خاطئة و تكون صحيحة في كل الحالات الأخرى.

يوجد نوعان من الرابطة Or : يسمى النوع الثاني ب XOR و هو اختصار ل Exclusive OR نرمز له ب ⊕ ( ربما مر عليك في احدى لغات البرمجة )، الفرق بينه و بين OR العادي هو أن XOR يكون خاطئا عندما تكون كلا القضيتين صحيحة أو خاطئة

و يكون صحيحا عندما تكون احداهما خاطئة، جدول الحقيقة الخاص به يكون كالتالي :

الغرض من ْXOR هو أنك أحيانا تحتاج الى اتخاذ قرار من احدى القرارين و ليس كليهما فمثلا تقول : غدا سوف أذهب الى المدرسة أو سأبقى في البيت فهنا يجب أن تتخذ قرارا من احدى القرارين فلا يمكنك فعل كليهما ، فعليك اما الذهاب الى المدرسة أو البقاء في البيت.

على عكس OR التي تستطيع من خلالها اتخاذ قرار أو كليهما فمثلا تقول ، سأطبخ اليوم رزا أو معكرونة هنا يمكنك طبخ الاثنين أو احدهما ,

رابطة الاستلزام Implication يرمز له ب" <- " يعني " اذا كان فأن " " if then " :

القضية q <- p تكون خاطئة اذا كان الاول صحيح و الثاني خطأ ، و تكون صحيحة عدا ذلك و منه جدول الحقيقة الخاص

ملاحظة : في ال implication تسمي p بالفرضية و q بالنتيجة

بها يمكن تمثيله كالتالي :

كما تلاحظون ف p يستلزم q تكون خاطئة في حالة وحيدة و هي عندما نبدأ من الصواب ( صح ) و نستنتج شيئا خاطئا ( خطأ) و هذا منافي للمنطق لأنه من المفترض عندما نبدأ بفرضية صحيحة فإننا نصل الى نتيجة صحيحة لكن أن تصل من فرضية صحيحة الى نتيجة خاطئة فهذا أمر غير منطقي ومنه هو خطأ.

يمكن التعبير عن ال implication بالعبارة التالية أيضا : p ∨ q¬ و يمكننا التأكد من ذلك عبر جدول الحقيقة :

ربما الأمر الجديد عليك هو هذا الرمز " ¬" , الرمز التالي يعني ال negation " النفي " فمثلا نفي True هو false و العكس.

جدول الحقيقة التالي يبين لنا كيف أن العبارة أعلاه هي نفسها ال implication :

رابطة التكافؤ Biconditional.P نرمز له ب :" ↔ "يعني p صحيحة اذا و فقط اذا كان q صحيحة و العكس

لتكن p و q قضيتين ما

القضية p ↔q تكون صحيحة اذا كان لكي من p و q نفس القيمة و تكون خاطئة اذا كانت لهما قيمتين مختلفتين

يمكن التعبير عن العبارة أيضا كالتالي : (p → q) ʌ (q → p) يمكنك القيام بجدول حقيقة للعبارة التالية للتأكد ( اجعله كفرض منزلي لمعرفة اذا ما كنت فهمت الموضوع )

Hint : يمكنك القيام بذلك عبر تجزئة الأمر و ذلك بوضع P ثم Q ثم p يستلزم q ثم q يستلزم p ثم في الاخير الوضع في الاعتبار كأن p يستلزم q هي قضية جديدة فلنسميها C و q يستلزم p قضية جديدة اخرى فل نسميها R و في الأخير تقوم بعمل C و R الناتج الذي تتحصل عليه( Truth values القيم ) يجب أن تجدها تماما مثل القيم الموجودة في الجدول أسفله :