ما هو الاشتقاق؟ [التفاضل والتكامل]

الاشتقاق هو ان تقوم باشتقاق (صياغة) دالة function اعتمادا على دالة اخري .. لماذا؟

تخيل ان معك الان مبلغ 3 دولارات، هل يمكننا القول بان هذا امر جيد ام سيئ ؟ لا نستطيع ذلك الا لو عرفنا القيمه السابقه فمثلا لو كان معك 0 ثم اصبح معك 3 فهذا تغير ايجابي وانت كسبت المال بمقدار 3 لكن لو كان معك 9 ثم اصبح 3 فهذا تغير سلبي وانت خسرت المال بمقدار 6

والان كيف عرفنا هل التغير ايجابي ام سلبي ومقداره؟ قمنا بحساب الفرق بين القيمة السابقة والقيمة الحالية أي قمنا بعملية ايجاد الفرق أو المفاضلة أو المقارنة بينهم differentiation لكن عملية ايجاد الفرق عملية متكررة ومملة لذلك قامو باستخراج قوانين لكيفية صياغة الدوال المشتقة المتشابه

مفهوم الاشتقاق:مبني على دراسة التغير

مثلا لديك طفل وكل يوم تقيس طوله

في يوم ١٥ شباط طولة ١٩٠ سم

في يوم ١٥ اذار طوله ١٩١ سم

في يوم ١٥ نيسان طوله ١٩٢ سم

في يوم ١٥ تموز طوله ١٩٥سم

نشكل دالتين لوصف الظاهرة(ظاهر نمو الطفل)

الدالة الاولى نسيمها دالة الطول..

الثانية دالة تغير الطول ...قيم الدالتين ؟

الطول(شباط)=١٩٠

الطول(اذار)=١٩١

الطول(نيسان)=انت احسب الجواب

...

تغير الطول(اذار)=طول(اذار)-طول(شباط)=١٩١-١٩٠=١سم

تغير الطول(نيسان)=طول(نيسان)-طول(اذار)=١سم

تغير الطول(تموز)=انت احسب الجواب

...

دالة تغير الطول هي مشتق دالة الطول

...

هذا الاشتقاق كمفهوم

وللاشتقاق ميزات هندسية وصفات

مثل انه يمثل ميل المماس

لو أخذنا كلمة رياضيات في اللغة، نلاحظ أن الكلمة جمع ليست مفرد. بمعنى أنها تشمل أشياء كثيرة. بمعنى أن الرياضيات لها فروع أو أقسام متعددة.

أحد تلك الأقسام هو علم يطلق عليه علم التفاضل و التكامل أو يطلق عليه بالإنگليزية Calculus. علم التفاضل و التكامل هو علم التَغَيُّر. معنى هذا أنه يدرس التغيرات الحاصلة في الدوال.

عملية التفاضل أو الاشتقاق هي عملية إيجاد مقدار التغير في الدالة.

على سبيل المثال، الدالة الثابتة مشتقتها صفر. لماذا؟ لأن الدالة ثابتة، فهي لا تتغير.

إذا كانت f(x)=5 فإن f'(x)=0 ، لاحظ أنه مهما تتغير قيمة x، فإن الناتج دائماً يساوي 5. معنى هذا أنها لا تتغير، أي أن مقدار التغير هو 0.

أما الدالة الخطية مشتقتها ثابت. لماذا؟ لأن مقدار تغيرها ثابت.

إذا كانت f(x)=5x فإن f'(x)=5 ، لاحظ أنه بتغير قيمة x، فإن الناتج دائماً يساوي 5 أضعاف قيمة x. معنى هذا أن مقدار التغير في الدالة ثابت، و في هذه الحالة قيمته تساوي 5.

سأحاول شرح الاشتقاق بأبسط طريقة ممكنة لدي

الاشتقاق هو عملية رياضية يتم اجراءها على أي دالة لقياس نسبة التغير في اي نقطة على الدالة

بعبارة أبسط .. اذا كانت الدالة تتناقص عند النقطة x فإن قيمة مشتقة الدالة عند x ستكون سالبة

وغن كانت تتزايد عند x .. فإن قيمة المشتقة عند x ستكون موجبة

واذا كانت قيمة الدالة عند x ثابتة ( أي أنها لا تختلف عن القيم السابقة لـ x ) .. فتكون المشتقة حينها تساوي صفراً

المماس هو قيمة المشتقة .. بإمكانك ان تتخيلها كما لو أنها سرعة التغير في القيمة

مثلا اذا كانت قيمة المشتقة عند x تساوي -10 وقيمتها عند y تساوي -5

هذا يعني أن الدالة عند x تتناقص بسرعة أكبر من النقطة y