لقد تخرجت من الصف الثالث الثانوي المهني
وان شاء الله فسوف اقوم بدخول شئ يسمي المعادلة
حيث سيتم اختباري في 6 امتحانات لـ6 مواد مختلفة وان نجحت فيهم فسيمكنني دخول كلية الهندسة
بالطبع المنهج الذي سوف امتحن فيه هو منهج الصف الثالث الثانوي العام
ولكن للاسف من ضمن تلك المواد مادة التفاضل والتكامل
والمشكلة ان المنهج الخاص بها مبني علي السنوات الماضية في الثانوية العامة
وبما انني لم اكن في الثانوية العامة فلدي بعض المشاكل في فهم بعض الامور
ومن تلك الامور هو مفهوم الاشتقاق
حاولت البحث عنه المفهوم في الانترنت ولكن وجدت مجموعة كبيرة من التعريفات الغريبة التي لم استطع ان افهم منها شئ
انا لا احاول حفظ التعريف بل احاول ان افهمه لان الاختبار سيكون علي مبدا الفهم وليس الحفظ
لذلك ايستطيع احدكم مساعدتي بتعريف الاشتقاق بمفهوم بسيط؟
التعليقات
الاشتقاق هو ان تقوم باشتقاق (صياغة) دالة function اعتمادا على دالة اخري .. لماذا؟
تخيل ان معك الان مبلغ 3 دولارات، هل يمكننا القول بان هذا امر جيد ام سيئ ؟ لا نستطيع ذلك الا لو عرفنا القيمه السابقه فمثلا لو كان معك 0 ثم اصبح معك 3 فهذا تغير ايجابي وانت كسبت المال بمقدار 3 لكن لو كان معك 9 ثم اصبح 3 فهذا تغير سلبي وانت خسرت المال بمقدار 6
والان كيف عرفنا هل التغير ايجابي ام سلبي ومقداره؟ قمنا بحساب الفرق بين القيمة السابقة والقيمة الحالية أي قمنا بعملية ايجاد الفرق أو المفاضلة أو المقارنة بينهم differentiation لكن عملية ايجاد الفرق عملية متكررة ومملة لذلك قامو باستخراج قوانين لكيفية صياغة الدوال المشتقة المتشابه
في المثال السابق ذكرت قيم حقيقة محددة 0،3،9 لكن في الواقع فإننا غالبا نهتم بمقدار التغيير أي نسبته وليس القيم الحقيقة فمثلا هناك فرصة استثمارية أن تعطني مبلغ وسأقوم بمضاعفته لك، هنا لم أحدد قيمة المبلغ، فقط حددت نسبة الزيادة 1:2 مهما كانت قيمة المبلغ الذي تعطيه سواء كان 100 أو 1000. وعلي فرض اعطيتني 100 (القيمة السابقة) فقمت بتطبيق نسبة الزيادة (مقدار التغيير) عليها 2*100 فهذا يعني انه يجب ان اعطيك 200 (القيمة الحالية)
المماس عند نقطة يعرفك على مقدار التغير الذي حدث للقيمة السابقة أيا كانت حتي نصل للقيمة الحالية، فمثلا إذا كان خط المماس يصنع زاوية حادة مع الاحداثي السيني الموجب فهذا يعني حدوث تغيير ايجابي وميله يعرفك مقدار هذا التغيير ، بينما الميل الذي يصنع زاوية منفرجة يعني حدوث تغيير سلبي
شاهد مثلا في هذه الصورة كيف يصنع المماس زاوية حادة عندما تتصاعد أو تتزايد قيم الدالة
وشاهد هنا كيف تتغير قيم ميل المماس عند قياسها عند نقط مختلفة وذلك لان التغيير غير ثابت فقد يكون الضعف عند نقطة بينما يكون ثلاث اضعاف عند اخري
حسنا لدي سؤال اخير هو الذي يحرني اكثر شئ بخصوص المماس
هو ما الذي يحدد النقطة التي يكون عليها المماس؟
النقطة التي تريد معرفة مقدار التغيير عندها. في مثال المال نريد معرفة مقدار التغيير عند 3
مثال اخر لنفرض ما معك من المال يوما خلال اسبوع هو 8-3- 7-10-2-1-9 (من اليمين) ونريد معرفه مقدار التغيير في اليوم الثاني هل المال يزيد ام ينقص؟ فتكون القيمة السابقة هي 8 والقيمة الحالية 3 وهي نفسها القيمة التي نريد معرفة مقدار التغيير عندها لذلك نقوم برسم المماس عند هذه النقطه هندسيا او نقوم بصياغة معادلة المماس عند هذه النقطة جبريا. نفس الامر إذا اردنا معرفة التغيير في اليوم السادس فيصبح القيمة السابقة 2 والحالية 1 ونرسم المماس عند 1
مفهوم الاشتقاق:مبني على دراسة التغير
مثلا لديك طفل وكل يوم تقيس طوله
في يوم ١٥ شباط طولة ١٩٠ سم
في يوم ١٥ اذار طوله ١٩١ سم
في يوم ١٥ نيسان طوله ١٩٢ سم
في يوم ١٥ تموز طوله ١٩٥سم
نشكل دالتين لوصف الظاهرة(ظاهر نمو الطفل)
الدالة الاولى نسيمها دالة الطول..
الثانية دالة تغير الطول ...قيم الدالتين ؟
الطول(شباط)=١٩٠
الطول(اذار)=١٩١
الطول(نيسان)=انت احسب الجواب
...
تغير الطول(اذار)=طول(اذار)-طول(شباط)=١٩١-١٩٠=١سم
تغير الطول(نيسان)=طول(نيسان)-طول(اذار)=١سم
تغير الطول(تموز)=انت احسب الجواب
...
دالة تغير الطول هي مشتق دالة الطول
...
هذا الاشتقاق كمفهوم
وللاشتقاق ميزات هندسية وصفات
مثل انه يمثل ميل المماس
لو أخذنا كلمة رياضيات في اللغة، نلاحظ أن الكلمة جمع ليست مفرد. بمعنى أنها تشمل أشياء كثيرة. بمعنى أن الرياضيات لها فروع أو أقسام متعددة.
أحد تلك الأقسام هو علم يطلق عليه علم التفاضل و التكامل أو يطلق عليه بالإنگليزية Calculus. علم التفاضل و التكامل هو علم التَغَيُّر. معنى هذا أنه يدرس التغيرات الحاصلة في الدوال.
عملية التفاضل أو الاشتقاق هي عملية إيجاد مقدار التغير في الدالة.
على سبيل المثال، الدالة الثابتة مشتقتها صفر. لماذا؟ لأن الدالة ثابتة، فهي لا تتغير.
إذا كانت f(x)=5 فإن f'(x)=0 ، لاحظ أنه مهما تتغير قيمة x، فإن الناتج دائماً يساوي 5. معنى هذا أنها لا تتغير، أي أن مقدار التغير هو 0.
أما الدالة الخطية مشتقتها ثابت. لماذا؟ لأن مقدار تغيرها ثابت.
إذا كانت f(x)=5x فإن f'(x)=5 ، لاحظ أنه بتغير قيمة x، فإن الناتج دائماً يساوي 5 أضعاف قيمة x. معنى هذا أن مقدار التغير في الدالة ثابت، و في هذه الحالة قيمته تساوي 5.
الصراحة لم افهم منك جيدا
ولكن مع ذلك فقد زودت بحثي واستطعت معرفة معني الاشتقاق
وما فهمته ان الاشتقاق يعبر عن الاشياء التي تتغير بسرعة غير منتظمة
مثلا اذا كانت هناك سيارة تمشي بسرعة غير منتظمة تزايدية (اي ان سرعة السيارة تزداد)
واردنا معرفة سرعة السيارة
فعندها نحن نقول اننا نريد الاشتقاق
فلنقل مثلا ان سرعة السيارة كلما مشت 1 كليومتر فان سرعتها تذداد بـ2
فاذا وصلت لـ5 كيلومتر فعندها يكون 5 × 2 = 10 اي ان سرعة السيارة كانت عشرة
اما الاشتقاق الخاص بهذه النسبة فيكون
د(س)= ص
اي د(المسافة) = معدل ازدياد السرعة بالنسبة للمسافة
فعندها نستطيع ان نقول
د(5) = 5× 2 = 10
وهذا ما يسمي بالاتشقاق
هل تعريفي الذي فهمته صحيح؟
وما فهمته ان الاشتقاق يعبر عن الاشياء التي تتغير بسرعة غير منتظمة
لا، ليس كذلك. الاشتقاق لا يعبر عن أشياء. الاشتقاق هو مقدار أو قيمة أو كمية التغير. لا توجد علاقة بالانتظام من عدمه.
مثلا اذا كانت هناك سيارة تمشي بسرعة غير منتظمة تزايدية (اي ان سرعة السيارة تزداد)
واردنا معرفة سرعة السيارة
فعندها نحن نقول اننا نريد الاشتقاق
لا. علاقة المسافة و السرعة هو واحدة من التطبيقات على الاشتقاق. في الحياة العملية، توجد تطبيقات كثيرة على موضوع الاشتقاق.
بالنسبة للمثال: ما معنى "المسافة مشتقتها السرعة"؟
معنى هذا أن السرعة هي " كمية تغير المسافة". المتغير هنا هو الزمن.
بالنسبة للمثال الذي طرحته، سرعةالسيارة كلما مشت ... لا علاقة له بالاشتقاق، بل هو نسبة و تناسب.
د(المسافة) = السرعة
خطأ. ليس هكذا. مشتقة المعادلة هي معادلة أخرى جديدة.
أيضاً المسافة هي دالة. ما هو داخل القوس هو العامل الذي تتغير على إثره المعادلة.
الصحيح هو:
مسافة(زمن)= مجموعة حدود. ...... هذه المعادلة الأولى
أما مشتقة المعادلة السابقة تكوة
مسافة'(زمن)=سرعة(زمن)=مجموعة حدود أخرى ........ هذه المعادلة الثانية
مثلاً:
معادلة المسافة: م(ز)=10ز+4
مشتقتها التي هي معادلة السرعة: س(ز)=10
سأحاول شرح الاشتقاق بأبسط طريقة ممكنة لدي
الاشتقاق هو عملية رياضية يتم اجراءها على أي دالة لقياس نسبة التغير في اي نقطة على الدالة
بعبارة أبسط .. اذا كانت الدالة تتناقص عند النقطة x فإن قيمة مشتقة الدالة عند x ستكون سالبة
وغن كانت تتزايد عند x .. فإن قيمة المشتقة عند x ستكون موجبة
واذا كانت قيمة الدالة عند x ثابتة ( أي أنها لا تختلف عن القيم السابقة لـ x ) .. فتكون المشتقة حينها تساوي صفراً
المماس هو قيمة المشتقة .. بإمكانك ان تتخيلها كما لو أنها سرعة التغير في القيمة
مثلا اذا كانت قيمة المشتقة عند x تساوي -10 وقيمتها عند y تساوي -5
هذا يعني أن الدالة عند x تتناقص بسرعة أكبر من النقطة y
مثال
لنأخذ مثال السيارة الشهير ..
لنقل أن سيارة قطعت مسافة 100 كيلومتر بسرعة 10 كيلو متر في الساعة
في هذه الحالة سرعة السيارة ثابتة ولا تتغير .. هي دائماً 10 كيلو متر في الساعة .. لذلك اشتقاق دالة سرعة السيارة تساوي صفراً دائما لإنها لا تتغير
لكن .. لنقل ان السيارة قطعت مسافر 100 كيلو متر بسرعات مختلفة ( تعرض السائق لإشارة ضوئية .. عبور مشاة .. ازدحام مروري الخ ... )
عندما بدأ السائق التحرك بدأ بسرعة 10 كيلومتر ,, لكنه بعد 20 دقيقة تعرض لازدحام مروري واتضطر لتقليل سرعته من 10 إلى 7 كيلومتر في الساعة لمدة 5 دقائق ثم عاد إلى سرعة 10 كيلو متر في الساعة وأكمل باقي طريقه
حينها فإن المشتقة ستساوي صفراً منذ الدقيقة 0 وحتى الدقيقة 20 (أثناء حدوث التغير في السرعة) عند اللحظة التي غير السائق سرعته فيها .. لماذا صفراً ؟ ببساطة لأن السرعة منذ الدقيقة 0 وحتى الدقيق 20 كانت ثابتة عند 10 كيلو متر في الساعة
لكن عند الدقيقة 20 في اللحظة التي تغيرت فيها السرعة تماماً ستكون قيمة المشتقة (المماس) -3 .. لإنها تناقصت بقيمة 3 كيلو متر في الساعة
بعد ذلك وعلى طول الخمس دقائق التالية أثناء سير السائق في الازدحام المروري والسير بسرعة 7 كيلومتر في الساعة .. فإن المشتقة ستعود قيمتها صفراً مره أخرى طوال هذه المدة .. لإن السرعة لم تتغير طوال هذه الدقائق الخمس وبقيت عند قيمتها 7 كيلومتر في الساعة
الآن مجدداً عند الدقيقة 25 .. أي عندما رفع السائق سرعته إلى السرعة الأصلية .. فإن قيمة المشتقة (المماس) سيكون +3 .. لإن السرعة تغيرت من 7 كيلو متر إلى 10 كيلو متر .. أي أنها ازدادت
هذا مثال تبسيطي لفكرة الاشتقاق حتى تستطيع فهم الفكرة الكامنة خلفه .. وسياعدك كثيراً عندما تقرأ الشروحات في الكتب و المقالات .. طبعاً قيم المشتقة التي ذكرتها في مثال السيارة غير حقيقية لكن الهدف من مثالي هو اعطاءك فكرة عن معنى الاشتقاق .. فهذا ما انت بحاجة اليه حتى تكمل طريقك في هذا المفهوم لوحدك ..